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2008年普通高等学校招生全国统一考试（理科数学江西卷）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数z=sin 2＋icos
2对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B的所有元素之和为
A．0
B．2
C．3
D．6
3．若函数y＝f(x)的值域是[ ，3]，则函数F (x)＝f(x)＋ 的值域是
A．[1/2，3] B．[2，10/3]
C．[5/2，10/3 ] D．[3,10/3]
4. ＝
A．1/2
B．0
C．－1/2
D．不存在
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1/n )，则an＝
A．2＋ln
n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln
n D．1＋n＋ln n
6．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin
x|在区间( )内的图象大致是(
)
A
B
C
D
7．已知F1、F2是椭圆的两个焦点．满足  ＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A．(0，1)
B．(0，1/2] C．(0, )
D．[  ，1)
8. 展开式中的常数项为
A．1
B．46
C．4245
D．4246
9．若0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是
A．albl＋a2b2
B．ala2＋b1b2 C．a1b2＋a2bl
D．1/2
10．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于 ，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点M
②弦AB、CD可能相交于点N
③MN的最大值为5
④MN的最小值为l
其中真命题的个数为
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为
A． 1/180
B． 1/288
C． 1/360 D．1/480
12．已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋l，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是
A．(0，2)
B．(0，8)
C．(2，8) D．(－∞，0)
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．
13．直角坐标平面内三点A(1，2)、B(3，－2)、C(9，7)，若E、F为线段BC的三等分点，则 ＝
．
14．不等式
≤１/２的解集为
．
15．过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则  ＝
16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图2)．有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好
经过点P
D．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是
．(写出所有真命题的代号)
三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在△ABC中．a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，
a＝2
，tan（A+B）/2＋tanC/2＝4，sin B sin C＝cos2（A/2）．求A、B及b、c．
18．（本小题满分12分）
因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令ξi(i＝1，2)表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．
（1）写出ξ1、ξ2的分布列；
（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?
（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?
19．（本小题满分12分）
等差数列{ an }各项均为正整数，a1＝3，前n项和为Sn，等比数列{ bn }中，b1＝1，且b2S2＝64，{ bn
}是公比为64的等比数列．
（1）求an与bn；
（2）证明：1/S1＋1/S2＋……＋1/Sn
＜3/4
20．（本小题满分12分）
正三棱锥O－ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知OA1＝3/2
（1）证明：B1C1⊥平面OAH；
（2）求二面角O－A1B1－C1的大小．
21．（本小题满分12分）
设点P (x0，y0) 在直线x＝m(
y≠±m，0＜m＜1)上，过点P作双曲线搿x2－y2＝1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M(1/m，0)．
（1）过点A作直线x－y＝0的垂线，垂足为N，试求△AMN的重心G所在的曲线方程；
（2）求证：A、M、B三点共线．
22．（本小题满分14分）
已知函数f(x)＝ ．
（1）当a＝8时，求f(x)的单调区间；
（2）对任意正数a，证明：l＜f(x)＜2．
答案
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